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Définition
On dit que la suite $$u_n$$ admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang
on note $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = L$$
Une telle suite est dite convergente : elle admet une limite finie.
[!remarque] Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente (suite qui n'admet pas de limite finie)
Ex: [[7divergente|➡️ Les suites divergentes en l'infini]]
![[suite_convergente.png]]
Théorème de la limite monotone
- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
- Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.
Exemple : démontrer qu'une suite est convergente
Soit $$u_0 = 0$$ et $$u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$$
1) Démontrer que $$u_n$$est majorée par 4.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $$u_n$$est majorée par 4.
Étape 1 : Initialisation.
On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici $$u_0$$.
La propriété est donc initialisée.
Étape 2 : Hérédité.
On pose l'hypothèse que $$u_n \leq 4 $$
On part de cette inégalité pour retrouver $$u_{n+1}$$
Par récurrence nous venons donc de démontrer que la suite est majorée par 4.
2) Démontrer que $$u_n$$ est croissante.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $$u_n$$ est croissante.
Étape 1 : Initialisation.
On calcule $$u_0 \space et \space u_1$$ pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.
La propriété est donc initialisée.
Étape 2 : Hérédité.
On pose l'hypothèse qu'à un rang $$n$$ la suite est croissante
On part de cette inégalité pour retrouver $$u_{n+1} \leq u_{n+2}$$
Nous avons donc démontré par récurrence que la suite $$u_n$$ est croissante
3) Conclusion
La suite $$u_n$$ converge donc car elle est croissante et majorée