Définition

On dit que la suite $$u_n$$ admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang

on note $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = L$$

Une telle suite est dite convergente : elle admet une limite finie.

[!remarque] Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente (suite qui n'admet pas de limite finie)

Ex: [[7divergente|➡️ Les suites divergentes en l'infini]]

![[suite_convergente.png]]

Théorème de la limite monotone

• Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
• Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.

Exemple : démontrer qu'une suite est convergente

Soit $$u_0 = 0$$ et $$u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$$

1) Démontrer que $$u_n$$est majorée par 4.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $$u_n$$est majorée par 4.

Étape 1 : Initialisation.

On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici $$u_0$$.

$$u_0 \leq 4$$

La propriété est donc initialisée.

Étape 2 : Hérédité.

On pose l'hypothèse que $$u_n \leq 4 $$

On part de cette inégalité pour retrouver $$u_{n+1}$$

$$\leftrightarrow 3u_n \leq 12 $$

$$\leftrightarrow 3u_n +4 \leq 16 $$

$$\leftrightarrow \sqrt {3u_n +4} \leq 4$$

$$ \leftrightarrow u_{n+1} \leq 4$$

Par récurrence nous venons donc de démontrer que la suite est majorée par 4.

2) Démontrer que $$u_n$$ est croissante.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $$u_n$$ est croissante.

Étape 1 : Initialisation.

On calcule $$u_0 \space et \space u_1$$ pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.

$$u_0 = 0$$

$$u_1 = 2$$

$$u_0 \leq u_1$$

La propriété est donc initialisée.

Étape 2 : Hérédité.

On pose l'hypothèse qu'à un rang $$n$$ la suite est croissante

$$u_n \leq u_{n+1}$$

On part de cette inégalité pour retrouver $$u_{n+1} \leq u_{n+2}$$

$$\leftrightarrow 3u_n \leq 3u_{n+1}$$

$$\leftrightarrow \sqrt {3u_n +4} \leq \sqrt {3u_{n+1} +4} $$

$$ \leftrightarrow u_{n+1} \leq u_{n+2}$$

Nous avons donc démontré par récurrence que la suite $$u_n$$ est croissante

3) Conclusion

La suite $$u_n$$ converge donc car elle est croissante et majorée