[[6convergente#Définition|Lien pour comprendre les termes convergent et divergent pour les suites]]

Définition d'une suite divergente en +l'infini

Une suite tend vers $$+∞$$ lorsque tout intervalle de la forme $$[A; +∞[$$ (avec A > 0) contient tous les termes $$u_n$$ à partir d'un certain rang.

Autrement dit pour tout $$A>0$$ il existe un rang $$n_0$$ tel que pour tout $$n \geq n_0, u_n \geq A$$

On note : $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = + \infty$$

![[suite_A_n0.png|350]]

Démontrer que la limite de Un = +l'infini

Soit $$n \in \mathbb{N} \space et \space A > 0 $$ on pose $$u_n = 4n² $$

On cherche à démontrer qu'il existe un rang $$n_0$$ à partir duquel $$u_n \geq A$$

$$u_n \geq A <=> 4n² \geq A <=> n² \geq \dfrac A 4 <=> n \geq \dfrac {\sqrt{A}}{2}$$

Cependant $$\dfrac {\sqrt{A}}{2}$$n'est généralement pas un entier naturel, on ne peut donc pas dire que $$n_0 = \dfrac {\sqrt{A}}{2}$$

On note alors $$n_0 = \lfloor \dfrac {\sqrt{A}}{2} \rfloor + 1$$

INFO

$$\lfloor \dfrac {\sqrt{A}}{2} \rfloor $$ est la partie entière de $$\dfrac {\sqrt{A}}{2}$$. On rajoute + 1 car si $$\dfrac {\sqrt{A}}{2}$$ vallait par exemple 3,8, et bien sa partie entière serait 3, il manquerait donc 0,8

Dans ce cas, si $$ n \geq n_0$$ on a $$u_n \geq A$$

Ainsi $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = + \infty$$

Définition d'une suite divergente en -l'infini

Une suite tend vers $$-∞$$ lorsque tout intervalle de la forme $$]-\infty; B [$$ (avec B < 0) contient tous les termes $$u_n$$ à partir d'un certain rang.

Autrement dit pour tout $$B < 0$$ il existe un rang $$n_0$$ tel que pour tout $$n \geq n_0, u_n \leq B$$

On note : $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = - \infty$$

[!remarque] $$u_n$$ tend vers $$-\infty$$ si et seulement si $$(-u_n)$$ tend vers $$+ \infty $$.

Démontrer que la limite de Un = -l’infini

Soit $$n \in \mathbb{N} \space et \space B < 0 $$ on pose $$u_n = -n² $$

On cherche à démontrer qu'il existe un rang $$n_0$$ à partir duquel $$u_n \leq B$$

$$u_n \leq B <=> -n² \leq B <=> n² \geq -B <=> n \geq \sqrt{-B}$$

Cependant $$\sqrt{-B}$$ n'est généralement pas un entier naturel, on ne peut donc pas dire que $$n_0 = \sqrt{-B}$$ On note alors $$n_0 = \lfloor \sqrt{-B}\rfloor$$

Dans ce cas, si $$n\geq n_0$$ on a $$u_n \leq B$$

Ainsi $$\lim \limits _{n \to + \infty} u_n = - \infty$$